求证:y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b(a,b,c是互不相等的实数),三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点.
题目
求证:y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b(a,b,c是互不相等的实数),三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点.
答案
证明:假设这三条抛物线全部与x轴只有一个交点或没有交点,
则有
| △1=4b2−4ac≤0 | △2=4c2−4ab≤0 | △3=4a2−4bc≤0 |
| |
三式相加,得a
2+b
2+c
2-ab-ac-bc≤0⇔(a-b)
2+(b-c)
2+(c-a)
2≤0.
∴a=b=c与a,b,c是互不相等的实数矛盾,
∴这三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点.
对于“至少”型的问题,可利用反证法,导出矛盾即可.
二次函数的性质.
本题考查二次函数的性质,突出考查反证法的应用,利用反证法时得到a2+b2+c2-ab-ac-bc≤0是关键,也是难点,考查转化思想与推理证明的能力,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点