口袋中装有n-1只黑球和1只白球,每次从中任取一球,并换入一只黑球,问第k次摸球时,摸到的是黑球的概率是

题目

口袋中装有n-1只黑球和1只白球,每次从中任取一球,并换入一只黑球,问第k次摸球时,摸到的是黑球的概率是

答案

分析：
第一种情况：
前k-1次一直没有出现白球,每次从中任取一球,并换入一只黑球,那么第k次摸到黑球的概率
Pa=(n-1)/n
第二种情况：
前k-1次已经出现了白球,每次从中任取一球,并换入一只黑球,那么第k次摸到黑球的概率
分如下k种可能：
第一次摸到白球,第k次摸到黑球的概率
P1=1/n*(n/n)^(k-1)
第二次摸到白球,第k次摸到黑球的概率
P2=(n-1)/n*1/n*(n/n)^(k-2)
第三次摸到白球,第k次摸到黑球的概率
P3=[(n-1)/n]^2*1/n*(n/n)^(k-3)
第k-1次摸到白球,第k次摸到黑球的概率
Pk-1=[(n-1)/n]^(k-2)*1/n*(n/n)
Pb=P1+P2+P3+...+Pk-1
=1/n*{[(n-1)/n]^0+[(n-1)/n]^1+[(n-1)/n]^2+.+[(n-1)/n]^(k-2)}
=1/n*{1-[(n-1)/n]^(k-1)}/[1-(n-1)/n]
=1-[(n-1)/n]^(k-1)
所以,每次从中任取一球,并换入一只黑球,问第k次摸球时,摸到的是黑球的概率是
P=Pa+Pb
=(n-1)/n+1-[(n-1)/n]^(k-1)
这道题也可以这么考虑,前面k-1次全部摸到黑球的补集1-[(n-1)/n]^(k-1),那就是前k-1出现了白球.