设f（x）是R上的函数,且满足f（0）=1,并且对任意实数x,y,有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）,求f（x)表达

题目

设f（x）是R上的函数,且满足f（0）=1,并且对任意实数x,y,有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）,求f（x)表达

答案

由题意可知
f(x)=f(x-y)+y(2x-y+1)
∴f(x)=f(x-y)+2xy-y2+y
令x=y
则 f(x)=f(x-x)+2x2-x2+x
f(x)=f(0)+x2+x
又有f(0)=1
f(x)=1+x2+x
∴f(x)=x2+x+1为所求