证明 1+1/√2+1/√3+……1/√n-2√n 有极限

题目

证明 1+1/√2+1/√3+……1/√n-2√n 有极限

答案

1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + … + 1/√n
＝2/(2√1) + 2/(2√2) + 2/(2√3) + 2/(2√4) + … + 2/(2√n)
≤2/(√0+√1) + 2/(√1+√2) + 2/(√2+√3) + 2/(√3+√4) + … + 2/[√(n-1)+√n]
＝ 2 (√1-√0) + 2(√2-√1) + 2 (√3-√2) + 2 (√4-√3) + … + 2 [√n-√(n-1)]
＝2√n
那么
1+1/√2+1/√3+……1/√n-2√n≤0
同理
1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + … + 1/√n
＝2/(2√1) + 2/(2√2) + 2/(2√3) + 2/(2√4) + … + 2/(2√n)
≥2/(√2+√1) + 2/(√3+√2) + 2/(√4+√3) + 2/(√5+√4) + … + 2/[√(n+1)+√n]
＝ 2 (√2-√1) + 2(√3-√2) + 2 (√4-√3) + 2 (√5-√4) + … + 2 [√n+1-√n]
＝2√（n+1） -2
那么1+1/√2+1/√3+……1/√n-2√n≥2√（n+1） -2 - 2√n ＞ -3
所以上限下限都存在,极限一定存在.