证明不等式最大最小值

题目

证明不等式最大最小值
X3次+Y3次+Z3次≥3XYZ
X+Y+Z≥3倍3次xyz
XYZ≤三分之(X3次+Y3次+Z3次)
XYZ≤(三分之X+Y+Z)3次
X,Y,Z∈R+,当且仅当X=Y=Z时等号成立

答案

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab]=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=1/2*(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0,
因此a^3+b^3+c^3≥3abc,当且仅当a＝b＝c时等号成立.对不起我习惯用abc
而对于1/3*(x+y+z)≥(xyz)^(1/3),是基本不等式的推广,而他对n个正数均成立,证明有多种,现用磨光法证明：
记A＝算术平均数,G＝几何平均数,若n个数全相等则A＝G,现若不全相等则不妨设a1最小,a2最大,显然a1a1a2,Gb>G；
仿此对{bn}再变换仍有上述结论,由此变换k次最终会等到全由A组成的数列
则A＝Gk>G,得A>G.
其他的都一样.