已知f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)=1,且f(1)=1.若x属于正整数,求f(x)的表达式.
题目
已知f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)=1,且f(1)=1.若x属于正整数,求f(x)的表达式.
答案
f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1
令y=1
f(x+1)=f(x)+f(1)+2(x+1)+1=f(x)+2x+4
即
f(x+1)=f(x)+2x+4
同理有
f(x)=f(x-1)+2(x-1)+4
f(x-1)=f(x-2)+2(x-2)+4
.
f(2)=f(1)+2*1+4
f(1)=1
将上面x个式子相加得
f(x)
=1+2*(1+2+...+(x-1))+4*(x-1)
=1+(1+x-1)x+4x-4
=x^2+4x-3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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