如图所示是永州八景之一的愚溪桥,桥身横跨愚溪,面临潇水,桥下冬暖夏凉,常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型,在正常水位下测得主拱宽24m,最高点离水面8m,以水平
题目
如图所示是永州八景之一的愚溪桥,桥身横跨愚溪,面临潇水,桥下冬暖夏凉,常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型,在正常水位下测得主拱宽24m,最高点离水面8m,以水平线AB为x轴,AB的中点为原点建立坐标系.
①求此桥拱线所在抛物线的解析式.
②桥边有一浮在水面部分高4m,最宽处16m的河鱼餐船,如果从安全方面考虑,要求通过愚溪桥的船只,其船身在铅直方向上距桥内壁的距离不少于0.5m.探索此船能否通过愚溪桥?说明理由.
答案
(1)设抛物线为y=ax
2+c
由题意得:A(-12,0),B(12,0),C(0,8).
C点坐标代入得:c=8,
A点坐标代入得:144a+8=0,
解得:a=-
,
故此桥拱线所在抛物线的解析式为:y=-
x
2+8;
(2)不能,
∵桥边有一浮在水面部分高4m,最宽处16m的河鱼餐船,
∴当x=8时,y=-
x
2+8=-
×8
2+8=
,
-4=
<0.5米
由于船身在铅直方向上距桥内壁的距离不少于0.5m,
故不能通过.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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