若X^5+2*X^3+1=a0+a1*(X-1)+a2*(X-1)^2+...+a5(X-1)^5对任意实数X都成立,则a3=?
题目
若X^5+2*X^3+1=a0+a1*(X-1)+a2*(X-1)^2+...+a5(X-1)^5对任意实数X都成立,则a3=?
答案
解析:
由题意令x=t+1,那么:
(t+1)^5 +2*(t+1)³ +1=a0+a1*t+a2*t² +a3*t³ +a4*t^4 +a5*t^5
则易知a3就是(t+1)^5 +2*(t+1)³ +1中含t³的系数
而二项展开式(t+1)^5中含t³的项为C(5,2)*t³=10t³,
(t+1)³中含t³的项为t³,即2*(t+1)³中含t³的项为2t³
所以可知(t+1)^5 +2*(t+1)³ +1中含t³的项为10t³+2t³=12t³
得(t+1)^5 +2*(t+1)³ +1中含t³的系数为12,即a3=12
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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