如图,AM是三角形ABC的中线,角DAM=角BAM,CD//AB.求证：AB=AD+CD

题目

如图,AM是三角形ABC的中线,角DAM=角BAM,CD//AB.求证：AB=AD+CD
用两种方法证明

答案

方法一：
延长CD交AM的延长线于E.
∵AB∥CE,∴∠ABM＝∠ECM、∠BAM＝∠CEM,又BM＝CM,∴△ABM≌△ECM,∴AB＝EC.
∵AB∥ED,∴∠DEA＝∠BAE,又∠BAE＝∠DAE,∴∠DEA＝∠DAE,∴AD＝ED.
显然有：EC＝ED＋CD,而EC＝AB、ED＝AD,∴AB＝AD＋CD.
方法二：
过B作BE⊥AM交AM的延长线于F,再延长BF交AD的延长线于G.
∵∠BAF＝∠GAF、AF⊥BG,∴AB＝AG、BF＝GF,∴∠ABG＝∠AGB.
∵BM＝CM、BF＝GF,∴AF∥CG,又∠AFB＝90°,∴∠BGC＝90°,
∴∠AGB＋∠DGC＝∠CBG＋（∠BCD＋∠DCG）＝（∠CBG＋∠BCD）＋∠DCG＝90°.
∵AB∥CD,∴∠ABC＝∠BCD,∴∠AGB＋∠DGC＝（∠CBG＋∠ABC）＋∠DCG,
∴∠AGB＋∠DGC＝∠ABG＋∠DCG,而∠AGB＝∠ABG,∴∠DGC＝∠DCG,∴CD＝GD.
显然有：AG＝AD＋GD,∴AG＝AD＋CD,又AB＝AG,∴AB＝AD＋CD.