如何用初等变换化二次型q(x1,x2,x3)=x1^2+2x1x2+2x2^2+4x2x3+4x3^2为标准型,并写出相应的线性替换?
题目
如何用初等变换化二次型q(x1,x2,x3)=x1^2+2x1x2+2x2^2+4x2x3+4x3^2为标准型,并写出相应的线性替换?
答案
二次型的矩阵 A =
1 1 0
1 2 2
0 2 4
分块矩阵 (上下放置)
A
E
=
1 1 0
1 2 2
0 2 4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
r2-r1,c2-c1
1 0 0
0 1 2
0 2 4
1 -1 0
0 1 0
0 0 1
r3-2r2,c3-2c2
1 0 0
0 1 0
0 0 0
1 -1 2
0 1 -2
0 0 1
令 P=
1 -1 2
0 1 -2
0 0 1
X=PY,f = y1^2+y2^2.
验证:P^TAP = diag(1,1,0).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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