点C在圆O上,AB是直径,CD垂直AB于D,弧CF=弧CA

题目

点C在圆O上,AB是直径,CD垂直AB于D,弧CF=弧CA
连接AF交CD于E,交BC于G.求证：（1）角CAF=角ACD.（2）EA=EC=EG

答案

(1)因为CD垂直AB于D,所以弧AC=弧AD,又因为弧CF=弧CA,所以弧CF=弧AD,所以角ACD=角CAF
(2)因为角ACD=角CAF,所以三角形AEC为等腰三角形,所以EC=EA；因为角CEG为三角形AEC外角,所以角CEG=角EAC+角ECA,所以角CEG=2倍的角ECA；
因为角BCA为圆O直径的圆周角,所以角BCA=90度,所以角BCD=90度-角ACE；
因为三角形内角和为180度,所以角EGC=180-(90-角ACE)-2倍的角ACE=90-角ACE,所以角BCD=角EGC,即角ECG=角EGC,所以三角形GEC为等腰三角形,所以EG=EC；
所以,EG=EC=EA