在极坐标系中,已知点A,B的极坐标分别为(1,0),(4,0),点P是平面内一动点,且PB=2PA
题目
在极坐标系中,已知点A,B的极坐标分别为(1,0),(4,0),点P是平面内一动点,且PB=2PA
在极坐标系中,已知点A、B的极坐标分别为(1,0)、(4,0),点P是平面内一动点,且PB=2PA,动点P的轨迹为曲线C
(1)求曲线C的极坐标方程
答案
可以用直角坐标系进行计算,然后再转换到极坐标系统上.
以极点作为原点,以极轴作为x轴,建立直角坐标系.
设P点坐标为(x,y),极坐标(p,α),A和B点坐标分别为(1,0),(4,0)
因为
PB=2PA
所以(x-4)²+y²=2(x-1)²+2y²
(x-4)²-2(x-1)²-y²=0
x²-8x+16-2x²+4x-2-y²=0
-x²-4x+14-y²=0
将x=pcosα,y=psinα,
-p²cos²α-4pcosα-p²sin²α+14=0
则-p²(cos²α+sin²α)-4pcosα+14=0
-p²-4pcosα+14=0
上述即是所求的曲线C的极坐标方程.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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