设a,b,c为实数,且a≠0,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且抛物线的顶点在直线y=-1上.若△ABC是直角三角形,则Rt△ABC面积的最大值是(  ) A.1 B.

设a,b,c为实数,且a≠0,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且抛物线的顶点在直线y=-1上.若△ABC是直角三角形,则Rt△ABC面积的最大值是(  ) A.1 B.

题目
设a,b,c为实数,且a≠0,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且抛物线的顶点在直线y=-1上.若△ABC是直角三角形,则Rt△ABC面积的最大值是(  )
A. 1
B.
3

C. 2
D. 3
答案
设y=ax2+bx+c交y轴于点C(0,c),c≠0,交x轴于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1<0<x2
由△ABC是直角三角形知,点C必为直角顶点,且c2=(-x1)x2=-x1x2(射影定理的逆定理),
由根与系数的关系得,x1+x2=-
b
a
,x1•x2=
c
a

所以c2=-
c
a
,c=-
1
a

4ac−b2
4a
=-1,即4a=4+b2,且a≥1,
所以S△ABC=
1
2
|c|•|x1-x2|=
1
2a
(x1+x2)2−4x1x2

=
1
2a
b2
a2
+
4
a2

=
1
a
a
≤1,
当且仅当a=1,b=0,c=-1时等号成立,因此,Rt△ABC的最大面积是1.
故选A.
先根据已知条件设出抛物线与x轴的交点,由射影定理的逆定理可求出c2=(-x1)x2=-x1x2,由根与系数的关系及抛物线的顶点坐标可求出4a=4+b2,且a≥1,再由三角形的面积公式及a的取值范围可求出其最大面积.

抛物线与x轴的交点;根与系数的关系;三角形的面积.

本题考查的是抛物线与x轴的交点、三角形的面积公式及根与系数的关系,有一定的综合性,但难度适中.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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