已知△ABC的三边a，b，c和面积S满足S=a2-（b-c）2，且b+c=8． （1）求cosA； （2）求S的最大值．

题目

已知△ABC的三边a，b，c和面积S满足S=a²-（b-c）²，且b+c=8．
（1）求cosA；
（2）求S的最大值．

答案

（1）由题意得：S＝a2−b2−c2+2bc＝

1

2

bcsinA
根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA⇒a²-b²-c²=-2bccosA
代入上式得：2bc−2bccosA＝

1

2

bcsinA
即   sinA=4-4cosA
代入  sin²A+cos²A=1得：cosA＝

15

17

（2）由（1）得  sinA＝

8

17

∵b+c=8∴c=8-b
∴S＝

1

2

bcsinA＝

4

17

bc＝

4

17

b(8−b)=

4

17

(−b2+8b)≤

64

17

所以，面积S的最大值为

64

17