一道高一的代数证明题

题目

一道高一的代数证明题
设x1、x2分别为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个非零实根,且x1不等于x2,求证：方程ax2/2+bx+c=0必有以根在x1与x2之间.

答案

证明:
假设(a/2)x2+bx+c=0必有一根在x1与x2之间
则(ax1^2/2+bx1+c)(ax2^2/2+bx2+c)<0
证明这个式子即可.
ax1^2/2+bx1+c=ax1^2+bx1+c-ax1^2/2

因为x1为ax^2+bx+c=0的根
则ax1^2+bx1+c=0

则ax1^2/2+bx1+c=-ax1^2/2
同理ax2^2/2+bx2+c=3ax2^2/2
则(ax1^2/2+bx1+c)(ax2^2/2+bx2+c)
=(-ax1^2/2)(3ax2^2/2)
=-3a^2x1^2x2^2/4
因为x1,x2是非零实根,且ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0是二次方程

则x1,x2,a都不等于0
则-3a^2x1^2x2^2/4<0
即 (a1^2/2+bx1+c)(ax2^2/2+bx2+c)<0
命题得证