设O为△ABC内角平分线的交点,当|AB|=|AC|=5,|BC|=6时,向量AO=入向量AB+μ向量BC,(入,μ∈R),求入+μ的值

题目

设O为△ABC内角平分线的交点,当|AB|=|AC|=5,|BC|=6时,向量AO=入向量AB+μ向量BC,(入,μ∈R),求入+μ的值

答案

因为:O为△ABC内角平分线的交点,
令,|AB|=c,|AC|=b,|BC|=a,则有
a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=0,.(1)
而,向量OB=向量(OA-BA),向量OC=向量(OA-CA),
向量AC=向量(AB+BC),
由(1)式得,
a*向量OA+b*向量(OA-BA)+c*向量(OA-CA)=0,
a*向量OA+b*向量(OA-BA)+c*向量(OA+AB+BC)=0,
(a+b+c)*向量OA=-b*向量AB-c*向量(AB+BC),
向量OA=[-(b+c)*向量AB-c*向量BC]/(a+b+c).(2)
而,向量AO=入向量AB+μ向量BC,.(3)
比较(2),(3)式的系数可得,
入=-(b+c)/(a+b+c),
μ=-c/(a+b+c).
而,a=6,b=c=5.则有
入=-10/16,
μ=-5/16.
入+μ=(-10/16)+(-5/16)=-15/16.