当x趋于0时,无穷小量y=(1-cosx)^2是几阶无穷小量?为什么呢?

题目

当x趋于0时,无穷小量y=(1-cosx)^2是几阶无穷小量?为什么呢?

答案

如果把x当做1阶无穷小量的话,y是4阶无穷小量,以x为底的y的对数趋于4.
可以从cos函数的幂级数展开形式来考虑,cos x =x^0/0!-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……于是易得y是4阶无穷小量.至于这个展开式的由来,那与cos函数的定义有关,暂不赘.
也可以先用洛必达法则证明(1-cosx)/x^2趋于一个非零实数.分子分母都趋于零,对分子分母分别求导,我们能得到这一式子当x趋于0时的极限等于sinx/2x的极限（如果极限存在）,这时分子分母又都趋于0,再分别求导,得这一极限等于cosx / 2的极限,即等于1/2.所以,(1-cosx)^2/x^4趋于1/4.
希望能帮到您.