已知数列{An}的首项A1=2/3,An+1=2An/An=1,n=1,2,3...证明：数列{1/An-1}是等比数列

题目

已知数列{An}的首项A1=2/3,An+1=2An/An=1,n=1,2,3...证明：数列{1/An-1}是等比数列

答案

若a(n+1)=2an/(an+1)
1/a(n+1)=1/2an+1/2
1/a(n+1)-1=1/2(1/an-1)
1/a1-1=1/2
数列{1/An-1}是首项为1/2,公比为1/2的等比数列
1/an-1=(1/2)^n=2^(-n)
an=1/(2^(-n)+1)