求证：f(x)=frac{{x}^{2}+3}{sqrt{{x}^{2}+2}},最小值

题目

求证：f(x)=frac{{x}^{2}+3}{sqrt{{x}^{2}+2}},最小值
也就是f(x)=(x平方+3)除以（根号下（x平方+2）)

答案

f(x)=(x²+3)/√(x²+2)
=(x²+2+1)/√(x²+2)
=√(x²+2)+1/√(x²+2)
令f(x)=y>0 (因为分子,分母都大于0) √(x²+2)＝t,t≥√2
如果没学过导数,则:
y=t+1/t
ty=t^2+1
t^2-yt+1=0
以上方程在t≥√2时要有解,必须deta>=0,同时,必须偏大的一个解>=根2
即:
deta=y^2-4>=0
y>=2 .1 or y=根2 其中,y>0
(2根2-y)=3/根2=3(根2)/2.2
综合1,2式,得:y>=3根2/2