如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,若将矩形折叠,使C点和A点重合,求折痕EF的长.
题目
如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,若将矩形折叠,使C点和A点重合,求折痕EF的长.
答案
连接AF.
∵点C与点A重合,折痕为EF,即EF垂直平分AC,
∴AF=CF,AO=CO,∠FOC=90°.
又∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=90°,AB=CD=3,AD=BC=4.
设CF=x,则AF=x,BF=4-x,
在Rt△ABC中,由勾股定理得
AC
2=BC
2+AB
2=5
2,且O为AC中点,
∴AC=5,OC=
AC=
.
∵AB
2+BF
2=AF
2∴3
2+(4-x)
2=x
2∴x=
.
∵∠FOC=90°,
∴OF
2=FC
2-OC
2=(
)
2-(
)
2=(
)
2∴OF=
.
同理OE=
.
即EF=OE+OF=
.
先连接AF,由于矩形关于EF折叠,所以EF垂直平分AC,那么就有AF=CF,又ABCD是矩形,那么AB=CD,AD=BC,在Rt△ABF中,(设CF=x),利用勾股定理可求出CF=
,在Rt△ABC中,利用勾股定理可求AC=5,在Rt△COF中再利用勾股定理可求出OF=
,同理可求OE=
,所以EF=OE+OF=
.
翻折变换(折叠问题);矩形的性质.
本题利用了折叠的对应点关于折痕垂直平分,以及矩形性质,勾股定理等知识.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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