在三角形ABC中,BC=a,AC=b且a,b是方程x^2-2根号3+2=0的两根,2cos(A+B)=1.

题目

在三角形ABC中,BC=a,AC=b且a,b是方程x^2-2根号3+2=0的两根,2cos(A+B)=1.
(1)求C的度数
(2）求AB的长
(3)求三角形ABC的面积

答案

（1）
在△ABC中,角C＝180-（A+B)
故,con(A+B)＝-conC,因2con(A+B)＝1
即,conC＝-1/2 ,故角C＝120度
（2）
利用余弦定理AB:
AB边即角C所对的边c,故
c^2＝a^2+b^2-2a*b*con120 (1)
利用配方解方程：
（x-根号3）^2-1＝0,故x1＝1＋根号3
x2＝-1+根号3
令a＝x1＝根号3+1； b＝根号3-1
将 a,b值代入（1）式,即
c^2＝(根号3+1）^2+（根号3-1)^2-2*(根号3+1)*( 根号3-1)*(1/2) (con120 ＝-1/2)
整理后得：AB=c＝根号10
(3)
所以三角形ABC面积=1/2*absinC=1/2*2*sin120度=根号3/2