如果a、b、c为互不相等的实数,且满足关系式b2+c2=2a2+16a+14与bc=a2-4a-5,那么a的取值范围是_.
题目
如果a、b、c为互不相等的实数,且满足关系式b2+c2=2a2+16a+14与bc=a2-4a-5,那么a的取值范围是______.
答案
∵b
2+c
2=2a
2+16a+14,bc=a
2-4a-5,
∴(b+c)
2=2a
2+16a+14+2(a
2-4a-5)=4a
2+8a+4=4(a+1)
2,
即有b+c=±2(a+1).
又bc=a
2-4a-5,
所以b,c可作为一元二次方程x
2±2(a+1)x+a
2-4a-5=0③的两个不相等实数根,
故△=4(a+1)
2-4(a
2-4a-5)=24a+24>0,
解得a>-1.
若当a=b时,那么a也是方程③的解,
∴a
2±2(a+1)a+a
2-4a-5=0,
即4a
2-2a-5=0或-6a-5=0,
解得,a=
或a=-
.
所以a的取值范围为a>-1且a≠-
且a≠
.
根据b,c关系就可以得到含有a的不等式,b
2+c
2>0即2a
2+16a+14>0;bc≤
,则2a
2+16a+14≥2(a
2-4a-5),解这两个关于a的不等式组成的不等式组就可以求出a的范围.
一元一次不等式的应用.
本题主要利用了不等式的性质:(b-c)2≥0,可得到b2+c2≥2bc.通过b,c的关系,转化为含a的不等式是解决本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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