正三棱锥的高为1 底面边长为2内有一个球与四个面都相切 求球的半径R和棱锥表面积

题目

正三棱锥的高为1 底面边长为2内有一个球与四个面都相切 求球的半径R和棱锥表面积

答案

如图正三棱锥S-ABC,内切球O,半径为r.
AD=√3/2*AB=√3/2*2=√3.
DE=1/3*AD=√3/3.
SE=1.
侧面的斜高SD2=DE2+SE2=1/3+1=4/3,SD=（2√3）/3.
S（侧）=1/2*3AB*SD=1/2*6*（2√3）/3=2√3；
S（底）=1/2*BC*AD=1/2*2*√3=√3.
S（表）=S（侧）+S（底）=2√3+√3=3√3.
我们利用等积法求r.
V(S-ABC)=1/3* S（底）*SE=1/3*√3*1=√3/3.
另一方面,连接OA、OB、OC、OS,就把棱锥分成了4个小棱锥,
其体积和=1/3*S（表）*r =1/3*3√3*r=√3*r.
于是有：√3*r=√3/3,所以,r=1/3.