如图,A、B、C、D是空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=2,等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动. (Ⅰ)当平面ADB⊥平面ABC时,求三棱锥D-ABC的体积; (Ⅱ)当△ADB转动过程
题目
如图,A、B、C、D是空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=
,等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a6efce1b9d16fdfa62a84c5fb78f8c5495ee7bbf.jpg)
(Ⅰ)当平面ADB⊥平面ABC时,求三棱锥D-ABC的体积;
(Ⅱ)当△ADB转动过程中,是否总有AB⊥CD?请证明你的结论.
答案
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d52a2834349b033bc80a766b16ce36d3d439bd85.jpg)
(Ⅰ)取AB的中点E,连接DE,CE,
因为ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时,
因为平面ADB∩平面ABC=AB,
所以DE⊥平面ABC,
可知DE⊥CE
由已知可得
DE=,EC=1,
则S
△ABC=1,
V
D-ABC=
×
×1=
.
(Ⅱ)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
证明:(ⅰ)当D在平面ABC内时,因为AC=BC,AD=BD,
所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD.
(ⅱ)当D不在平面ABC内时,由(Ⅰ)知AB⊥DE.又因AC=BC,所以AB⊥CE.
又DE,CE为相交直线,所以AB⊥平面CDE,由CD⊂平面CDE,得AB⊥CD.
综上所述,总有AB⊥CD.
(Ⅰ)取出AB中点E,连接DE,CE,由等边三角形ADB可得出DE⊥AB,又平面ADB⊥平面ABC,故DE⊥平面ABC,由勾股定理可得CE的长,进而可得三角形ABC的面积,由棱锥的体积公式可得答案.
(Ⅱ)总有AB⊥CD,当D∈面ABC内时,显然有AB⊥CD,当D在而ABC外时,可证得AB⊥平面CDE,定有AB⊥CD.
棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平面垂直的性质.
本题考查用线面垂直的方法来证明线线垂直,解答的关键是答题者的空间想象能力.
举一反三
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