已知〔an〕是递增的数列,其前n项和为Sn且2Sn＝an∧2＋n

题目

已知〔an〕是递增的数列,其前n项和为Sn且2Sn＝an∧2＋n
试判断数列〔2Sn－11n／n〕是等差数列

答案

根据2Sn=an^2+n
得到2a1=a1^2+1
求得a1=1或a1=-1
又因为 an>0 所以a1=1
同理求得a2=2 a3=3
（2） 猜想an=n
证明 ：因为 2Sn=an^2+n ……①
那么 2Sn-1=an-1^2+n-1 ……②
①-②得 2an=an^2-an-1^2+1
即（an-1）^2=an-1^2
因为an>0 两边同时开方得到：
an -1 = an-1
即 an - an-1 =1
故数列{an}为首项为1,公差为1的等差数列
那么an=1+（n-1）*1=n
(2sn-11n/n)=(n^2+n)/n=n+1
所以是等差数列