如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=6,PB=2,PC=4,则∠BPC=_°.
题目
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=6,PB=2,PC=4,则∠BPC=______°.
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答案
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将△ACP绕C点旋转90°,然后连接PQ,
由旋转的性质可知:CQ=CP=4,BQ=PA=6,∠QBC=∠PAC,
∴Rt△ACB∽Rt△PCQ,
又∵∠PCB+∠PCA=90°,
∴∠PCQ=∠QCB+∠BCP=∠PCB+∠PCA=90°,
∴PQ
2=CQ
2+CP
2=32,且∠QPC=45°,
在△BPQ中,PB
2+PQ
2=4+32=36=BQ
2∴∠QPB=90°,
∴∠BPC=∠QPB+∠QPC=135°.
故答案为:135°.
将△ACP绕C点旋转90°,根据旋转的性质可得出∠QPC=45°,根据勾股定理可证出∠QPB=90°,从而可得出答案.
等腰直角三角形;相似三角形的判定与性质.
本题考查了等腰直角三角形及旋转的性质,难度很大,解答本题的关键是将△ACP正确的旋转.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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