如图，在Rt三角形ABC 中，角C=90°，AC=3，BC=4，一条直线 l与边BC、BA分别交与点 E、F，且分三角形ABC 的面积为相等的两部分，则线段EF 长的最小值为_．

题目

如图，在Rt三角形ABC 中，角C=90°，AC=3，BC=4，一条直线 l与边BC、BA分别交与点 E、F，且分三角形ABC 的面积为相等的两部分，则线段EF 长的最小值为______．

答案

∵C=90°，|AC|=3，|BC|=4，∴根据勾股定理得：|AB|=5，∴S△ABC=12|BC|•|AC|=6，∴sinB=|AC||AB|=35，设|BE|=x，|BF|=y，∵S△BEF=12S△ABC，∴12xysinB=310xy=3，∴xy=10，在△BEF中，|BE|=x，|BF|=y，cosB=|BC||...

由C为直角，在直角三角形ABC中，由边AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，再根据两直角边乘积的一半求出三角形ABC的面积，同时根据锐角三角函数定义求出sinB及cosB的值，设线段BE的长度为x，线段BF的长度为y，由直线EF把三角形分为面积相等的两部分，可得三角形BEF的面积等于三角形ABC面积的一半，由x，y及sinB的值，利用三角形的面积公式列出关系式，求出xy的值，在三角形BEF中，由x，y及cosB的值，利用余弦定理得|EF|²=x²+y²-2xycosB，把cosB的值代入，利用基本不等式变形，再将xy的值代入，即可求出|EF|的最小值，以及取得最小值时x与y的值．

本题考点：余弦定理；基本不等式；正弦定理．

考点点评：此题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，三角形的面积公式，余弦定理，以及基本不等式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．