求证:在半径为r的远的内接矩形中,面积最大的是正方形,它的面积等于2r^2

题目

求证:在半径为r的远的内接矩形中,面积最大的是正方形,它的面积等于2r^2

答案

设长方形内接于半径为r的园,求证面积最大的是正方形,它的面积等于2r^2
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证明：
长方形内接于一个园,因为圆周角是直角,可以证明：长方形对角线必然经过园心,是其直径.
设长方体的长宽分别为x,y,则
长方形面积S=xy,
√[x^2+y^2]=2r,
x^2+y^2=4r^2,
y=√[4a^2-x^2],
S=xy=x√[4r^2-x^2],
dS/dx=√[4r^2-x^2]+x{0.5*[4r^2-x^2]^(-1/2)(-2x)}=
=√[4r^2-x^2]-x^2/√[4r^2-x^2]=
=[4r^2-2x^2]/√[4r^2-x^2],
dS/dx=0时,S才有可能有极值,进而才可能有极大值,
[4r^2-2x^2]/√[4r^2-x^2]=0,
长方形的一个边长不可能等于对角线2r长,即 x≠2r,x^2≠4r^2,
x^2=2a^2,x=√2a,舍弃x是负值的解,
y=√[4r^2-x^2]=√2r=x,
因为这是实际问题,面积极值也是极大值、最大值,
也就是说,在长方形对角线长固定时,正方形的面积最大.
其面积S=xy=x^2=[√2r]^2=2r^2.
证明.