已知sinα+sinβ=1,求cosα+cosβ的最大值和最小值

题目

已知sinα+sinβ=1,求cosα+cosβ的最大值和最小值

答案

设cosα+cosβ=y （1）
sinα+sinβ=1 （2）
(1)²+(2)²,得
2+2cosαcosβ+ 2sinαsinβ=y²+1
即2cos(α-β)=y²-1
由于cos(α-β)≤1,（ 当α=β,即sinα=sinβ=1/2时,cos(α-β)=1 )
所以 y²-1=2cos(α-β)≤2,y²≤3,
从而 -√3≤y≤√3
即 cosα+cosβ的最大值为√3,最小值为-√3.