高数之应用

题目

高数之应用
从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗.问留下的扇形的中心角φ取多大时,做成的漏斗的容积最大?
=[(φR)^2*√(R^2-(φR/2π)^2)]/12π
=[R^3/(12π^2)]*√(φ^4(4π^2-φ^2)/4)
=[R^3/(12π^2)]*√((φ^2/2)(φ^2/2)(4π^2-φ^2)) ***
≤[R^3/(12π^2)]*√{[(φ^2/2)+(φ^2/2)+(4π^2-φ^2)]/3}^3 柯西不等式
=[R^3/(12π^2)]*（4π^2/3）^3
=2√3*πR^3/27 当且仅当 φ^2/2=(4π^2-φ^2) 时取等号
这里开始不太懂，

答案

留下的扇形圆弧长l=φR
做成一个漏斗后底圆周长为l,故半径r=φR/2π
所以漏斗的高为 h=√(R^2-r^2)=√(R^2-(φR/2π)^2)
所以漏斗体积为
v=πr^2*h/3=[(φR)^2*√(R^2-(φR/2π)^2)]/12π
=[R^3/(12π^2)]*√(φ^4(4π^2-φ^2)/4)
=[R^3/(12π^2)]*√((φ^2/2)(φ^2/2)(4π^2-φ^2)) ***
≤[R^3/(12π^2)]*√{[(φ^2/2)+(φ^2/2)+(4π^2-φ^2)]/3}^3 柯西不等式
=[R^3/(12π^2)]*（4π^2/3）^3
=2√3*πR^3/27 当且仅当 φ^2/2=(4π^2-φ^2) 时取等号
即 φ=2√6*π/3
上式也可以用求导的方法求取最大值~自己试下吧