设A、B、C是半径为1的球面上的三点,B、C两点间的球面距离为π3,点A与B、C两点间的球面距离均为π2,O为球心, 求:(1)∠AOB、∠BOC的大小; (2)球心O到截面ABC的距离.
题目
设A、B、C是半径为1的球面上的三点,B、C两点间的球面距离为
,点A与B、C两点间的球面距离均为
,O为球心,
求:(1)∠AOB、∠BOC的大小;
(2)球心O到截面ABC的距离.
答案
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/11385343fbf2b2111fe565ffc98065380dd78ebc.jpg)
如图,(1)因为球O的半径为1,B、C两点间的球面距离为
,
点A与B、C两点间的球面距离均为
,所以∠BOC=
,∠AOB=∠AOC=
.
(2)因为BC=1,AC=AB=
,所以由余弦定理得cos∠BAC=
,
sin∠BAC=
,设截面圆的圆心为O
1,连接AO
1,
则截面圆的半径R=AO
1,由正弦定理得r=
=
,
所以OO
1=
=
.
(1)根据球面距离的定义可得)∠AOB、∠BOC的大小;
(2)欲求球心O到截面ABC的距离,截面圆的圆心为O1,可通过解直角三角形AOO1解决.
球的性质;正弦定理;点、线、面间的距离计算.
本题主要考查了球的性质、正弦定理解三角形以及点面间的距离计算,属于基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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