高一关于向量的题型提问.

题目

高一关于向量的题型提问.
在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船,由于缆绳突然断开,小船被风刮跑,其方向与湖岸成15度角,5KM/H,同时岸边有一个人,从同一地点开始追赶小船,已知他在岸上跑的速度为4KM/H,在水中游的速度为2KM/H.问此人能否追上小船.若小船速度改变,则小船能被追上的最大速度是多少?

答案

v＝2.5km/h,v1＝4km/h,v2＝2km/h
1.矢量法.
人在岸上走时,船看到人正在“离去”,相对速度u1（→）（（→）表示矢量）有u1（→）＝-v（→）+v1（→）；人在水中游时,船看人在“返回”,相对速度u2（→）＝-v（→）+v2（→）.由于人能追上船,则u1与u2必反向.由此画图以-v为公共边做以上两矢量合成三角形则v2（→）的末端必与u2终点重合,即必终于u1的反向延长线.为使v尽可能大,即v/v2尽可能大（因为v2大小恒定）,那在图中我们假定-v（→）一定而v2（→）变化,要v/v2尽可能大即要v2（→）最小,即v2（→）垂直于u1.在大三角形中又由v1＝2v2知v1（→）与v2（→）夹角为60度,减去v1（→）与-v（→）夹角15度,则-v（→）与v2（→）夹角45度,由-v（→）、v2（→）与u2（→）组成等腰直角三角形,所以v=2√▔2km/h>2.5km/h,能追上船,船最大速度为2√▔2km/h.
2.等效法.
在人追上船的众多路径中,人费时最少的对应最大船速.设出发处为A,相遇处为B,湖岸为MN,在湖岸上作一角NAP与湖岸线成30度角,则与船速成45度角.自湖岸线上任一点C向AP引垂线CK,并设想这一区域也是湖水,这人从K游至C的时间与从A跑到C的时间一样（因为v1＝2v2,AC＝2CK）,所以人沿A→C→B时间等同于人游泳路径K→C→B.而假想路径中速度均一样,故从B向AF作垂线段BH路程最短,耗时最短,船速最大.△ABH为等腰三角形,AB＝√▔2BH,而人、船分别以v2、v行使BH、AB经相同时间,所以v(max)=√▔2v2=2√▔2km.