已知p,q都是质数,且使得关于x的二次方程x2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根,求所有的质数对(p,q).
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知p,q都是质数,且使得关于x的二次方程x2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根,求所有的质数对(p,q). |
答案
根据一元二次方程根与系数的关系可得:x1+x2=8p-10q, x1•x2=5pq, 质数都是正整数.所以5pq肯定是正整数, 有一根是正整数,x1x2肯定都是正整数, 可以知道有几种可能, x1=5 x2=pq;x1=5p x2=q;x1=5q x2=p;x1=1,x2=5pq; 将x1,x2代入 x1+x2=8p-10q, 5+pq=8p-10q,(1) p(q-8)+10(q-8)+80+5=0, (q-8)(p+10)=-85=-5×17=-1×85, q=3,p=7,或q=7,p=75(舍去), 5p+q=8p-10q,11q=3p,(2) p=11,q=3, 5q+p=8p-10q,15q=7p,(3) p=15,q=7(舍去), 5pq+1=8p-10q,(4) 5q(p+2)-8(p+2)+16+1=0, (p+2)(5q-8)=-17, p=15,q=(舍去),p=-1,q=-(舍去),q=,p=-19(舍去),q=5,p=-3(舍去), 最后p=11,q=3, 或p=7,q=3. 故存在两对质数(11,3)和(7,3). |
举一反三
有三个连续的奇数,它们的平方和是四个相同数字组成的四位数,那么这三个连续奇数中最大的一个是______. |
已知n是正整数,且是质数,那么这个质数是 ______. |
若n是质数,且分数不约分或经过约分后是一个最简分数的平方,则n=______或 ______. |
若a,b都是整数,方程ax2+bx-2008=0的相异两根都是质数,则3a+b的值为( ) |
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