如果自然数a,b,c满足a2+b2=c2,求证:(1)a,b中至少有一个是偶数;(2)a,b中至少有一个是3的倍数;(3)a,b,c中至少有一个是5的倍数.
题型:解答题难度:一般来源:不详
如果自然数a,b,c满足a2+b2=c2,求证: (1)a,b中至少有一个是偶数; (2)a,b中至少有一个是3的倍数; (3)a,b,c中至少有一个是5的倍数. |
答案
证明:运用反证法证明. (1)假设a、b都是奇数,则c为偶数,c2为4的倍数, 设a=2m+1,b=2n+1(m、n为整数), 则a2+b2=(2m+1)2+(2n+1)2=2(2m2+2n2+2m+2n+1) 为2的奇数倍,不是4的倍数,与题设矛盾, ∴a,b中至少有一个是偶数;
(2)假设a、b都不是3的倍数,则a、b被3除余数为1或2, a2+b2被3除余数为2,即为3m+2(m为整数), 而3m+2不是完全平方式,故假设不成立, ∴a,b中至少有一个是3的倍数;
(3)假设a、b、c都不是5的倍数, ∵完全平方数除以5余数只能0,1,4, 则a2,b2,c2,被5除后余数只能是1、1、1或1、1、4或1、4、4或4、4、4, 这些都不能使a2+b2=c2成立, ∴a、b、c不能同时不整除5. |
举一反三
所有个位数与十位数都是奇数的两位数的和______. |
在12,22,32,…,952这95个数中十位数字为奇数的数共有______个. |
任意调换12345各数位上数字的位置,所得的五位数中质数的个数是( ) |
在1、0交替出现且以1打头和结尾的所有整数(101,10101,10101…)中有多少个质数?为什么?并求出所有质数. |
能否2010写成k个互不相等的质数的平方和?如果能,试求k的最大值;如果不能,请简述理由. |
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