设S=1+112+122+1+122+132+…+1+119992+120002，求不超过S的最大整数[S]．

题型：解答题难度：一般来源：不详

设S=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+…+

1+ 1 19992 + 1 20002

，求不超过S的最大整数[S]．

答案

∵

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2+2n+1 n2 - 2n n2 + 1 (n+1)2

，
=

( n+1 n )2-2• n+1 n • 1 n+1 +( 1 n+1 )2

，
=

( n+1 n - 1 n+1 ) 2

，
=|

n+1

n

-

1

n+1

|，
=1+

1

n

-

1

n+1

，
∴S=1+

1

1

-

1

2

+1+

1

2

-

1

3

+…+1+

1

1999

-

1

2000

=2000-

1

2000

，
∴[S]=1999．
∴不超过S的最大整数[S]为1999．