对任意的自然数n,证明A=2903n-803n-464n+261n能被1897整除.

对任意的自然数n,证明A=2903n-803n-464n+261n能被1897整除.

题型:解答题难度:一般来源:不详
对任意的自然数n,证明A=2903n-803n-464n+261n能被1897整除.
答案
证明:1897=7×271,7与271互质.
因为2903≡5(mod7),
803≡5(mod7),
464≡2(mod7),
261≡2(mod7),
所以
A=2903n-803n-464n+261n
≡5n-5n-2n+2n=0(mod7),
故7|A.又因为
2903≡193(mod271),
803≡261(mod271),
464≡193(mod271),
所以
A=2903n-803n-464n+261n
≡193n-261n-193n+261n
=0(mod271),
故271|A.因(7,271)=1,
所以1897整除A.
即A=2903n-803n-464n+261n能被1897整除.
举一反三
把1,2,3…,127,128这128个数任意排列为a1,a2,…,a128,计算出|a1-a2|,|a3-a4|,…,|a127-a128|,再将这64个数任意排列为b1,b2,…,b64,计算|b1-b2|,|b3-b4|,…,|b63-b64|.如此继续下去,最后得到一个数x,问x是奇数还是偶数?
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