n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件:1=a1<a2<…<an=2009;且a1,a2,…,an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值

n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件:1=a1<a2<…<an=2009;且a1,a2,…,an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值

题型:解答题难度:一般来源:不详
n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件:1=a1<a2<…<an=2009;且a1,a2,…,an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值.
答案
设a1,a2,an中去掉ai后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数bi,i=1,2,n.即bi=
(a1+a2++an)-ai
n-1

于是,对于任意的1≤i<j≤n,都有bi-bj=
aj-ai
n-1

从而n-1|(aj-ai),
由于b1-bn=
an-a1
n-1
=
2008
n-1
是正整数,
故n-1|23×251,
由于an-1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)≥(n-1)+(n-1)+…+(n-1)=(n-1)2
所以,(n-1)2≤2008,于是n≤45,
结合n-1|23×251,所以,n≤9;
另一方面,令a1=8×0+1,a2=8×1+1,a3=8×2+1,a8=8×7+1,
a9=8×251+1,则这9个数满足题设要求.
综上所述,n的最大值为9.
举一反三
某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有一个四位数的号码,从0001到9999号,如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和,则称这张购物券为“幸运券”.证明:这个商场所发放的购物券中,所有的幸运券的号码之和能被101整除.
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已知正整数a满足192|a3+191,且a<2009,求满足条件的所有可能的正整数a的和.
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已知n为正整数,且n2-71能被7n+55整除,试求n的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
试找出由0,1,2,3,4,5,6这7个数字组成的没有重复数字的七位数中,能被165整除的最大数和最小数(要求写出推理过程).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
小慧和小靖进行百米赛跑,小慧每秒跑6.3米,小靖每秒跑7米,小靖让小慧先跑5米,则比赛结果是(  )
A.小慧和小靖同时到达终点
B.小慧比小靖早近0.8秒到达终点
C.小靖比小慧早近0.8秒到达终点
D.小靖比小慧早近0.7秒到达终点
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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