n个正整数a1，a2，…，an满足如下条件：1=a1＜a2＜…＜an=2009；且a1，a2，…，an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值

题型：解答题难度：一般来源：不详

n个正整数a₁，a₂，…，a_n满足如下条件：1=a₁＜a₂＜…＜a_n=2009；且a₁，a₂，…，a_n中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．

答案

设a₁，a₂，a_n中去掉a_i后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数b_i，i=1，2，n．即bi=

(a1+a2++an)-ai

n-1

．
于是，对于任意的1≤i＜j≤n，都有bi-bj=

aj-ai

n-1

，
从而n-1|（a_j-a_i），
由于b1-bn=

an-a1

n-1

=

2008

n-1

是正整数，
故n-1|2³×251，
由于a_n-1=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）≥（n-1）+（n-1）+…+（n-1）=（n-1）²，
所以，（n-1）²≤2008，于是n≤45，
结合n-1|2³×251，所以，n≤9；
另一方面，令a₁=8×0+1，a₂=8×1+1，a₃=8×2+1，a₈=8×7+1，
a₉=8×251+1，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9．