从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?
题型:解答题难度:一般来源:不详
从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除? |
答案
首先,如下61个数:11,11+33,11+2×33,11+60×33(即1991)满足题设条件, 另一方面,设a1<a2<an是从1,2,2010中取出的满足题设条件的数, 对于这n个数中的任意4个数ai,aj,ak,am,因为33|(ai+ak+am),33|(aj+ak+am), 所以33|(aj-ai), ∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数, 设ai=a1+33di,i=1,2,3,n, 由33|(a1+a2+a3),得33|(3a1+33d2+33d3), 所以33|3a1,11|a1,即a1≥11,dn=≤<61, 故dn≤60,所以n≤61, 综上所述,n的最大值为61. |
举一反三
n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件:1=a1<a2<…<an=2009;且a1,a2,…,an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值. |
某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有一个四位数的号码,从0001到9999号,如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和,则称这张购物券为“幸运券”.证明:这个商场所发放的购物券中,所有的幸运券的号码之和能被101整除. |
已知正整数a满足192|a3+191,且a<2009,求满足条件的所有可能的正整数a的和. |
已知n为正整数,且n2-71能被7n+55整除,试求n的值. |
试找出由0,1,2,3,4,5,6这7个数字组成的没有重复数字的七位数中,能被165整除的最大数和最小数(要求写出推理过程). |
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