张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张.如果已知x,y,z的最小公倍数为60,x和y的最大公约数为4,y和z的最大公约数为3,那么张华发出的新年贺
题型:解答题难度:一般来源:不详
张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张.如果已知x,y,z的最小公倍数为60,x和y的最大公约数为4,y和z的最大公约数为3,那么张华发出的新年贺卡是多少张? |
答案
由题意可知,y不仅是3的倍数,而且是4的倍数,即y是12的倍数.同时y是60的约数,故而可求y. ∵(x,y)=4,(y,z)=3 ∴y是3与4的倍数,而3与4互质故y是12的倍数. 又∵[x,y,z]=60 ∴y=12,60.进而可求出x. ∵[x,y,z]=60=3×4×5. 当y=12时,x、z中至少有一个含有因数5. 若x中有因数5,又x中有因数4,且4与5互质 ∴x中有因数20 ∵[x,y,z]=60,(x,y)=4 ∴x=20 当x中没有因数5,∵x中有因数4,且x是60的约数 ∴x=4,或x=12 ∵(x,y)=4 ∴x=4 当y=60时,(x,y)=4,而x中没有因数5,且[x,y,z]=60=3×4×5, 故x=4. 因此,张华发出的贺年卡为4张或20张. |
举一反三
有三个正整数a,b,c,其中a与b互质且b与c也互质.给出下面四个判断: ①(a+c)2不能被b整除②a2+c2不能被b整除③(a+b)2不能被c整除④a2+b2不能被c整除 其中,不正确的判断有( ) |
在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个? |
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