已知x+y+z=xyz,证明:x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知x+y+z=xyz,证明:x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz. |
答案
证明:∵x+y+z=xyz, ∴左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2) =(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2 =xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx) =xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx) =xyz+xyz+xyz+xyz =4xyz=右边. ∴x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz. |
举一反三
已知:a4+b4+c4+d4=4abcd,且a,b,c,d都是正数,求证:a=b=c=d. |
已知a+b+c=0.求证:2(a4+b4+c4)=(a2+b2+c2)2. |
已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0,求证:2b=a+c. |
(1)已知a,b为实数,且满足-(b-1)=0,则a2009-b2009的值时多少? (2)先化简,再求值.[(x+2y)(x-2y)-(x+4y)2]÷4y,其中x=5,y=2. |
把一个正方体切成两个长方体,如果两者表面积之比为1:2,那么两者体积之比为______. |
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