已知:a4+b4+c4+d4=4abcd,且a,b,c,d都是正数,求证:a=b=c=d.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知:a4+b4+c4+d4=4abcd,且a,b,c,d都是正数,求证:a=b=c=d. |
答案
证明:由已知可得:a4+b4+c4+d4-4abcd=0, (a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0, 所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0. 因为(a2-b2)2≥0,(c2-d2)2≥0,(ab-cd)2≥0, 所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0, 所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)=0. 又因为a,b,c,d都为正数, 所以a+b≠0,c+d≠0, 所以a=b,c=d. 所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0, 所以a=c, 故a=b=c=d成立. |
举一反三
已知a+b+c=0.求证:2(a4+b4+c4)=(a2+b2+c2)2. |
已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0,求证:2b=a+c. |
(1)已知a,b为实数,且满足-(b-1)=0,则a2009-b2009的值时多少? (2)先化简,再求值.[(x+2y)(x-2y)-(x+4y)2]÷4y,其中x=5,y=2. |
把一个正方体切成两个长方体,如果两者表面积之比为1:2,那么两者体积之比为______. |
如果用“★”表示一种新的运算符号,而且规定有如下的运算法则:m★n=m(m-3n),则2x★y的运算结果是______. |
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