已知关于x的方程x2-2(k+1)x+k2+2k-54=0 ①.(1)求证:对于任意实数k,方程①总有两个不相等的实数根;(2)如果a是关于y的方程y2-(x1

已知关于x的方程x2-2(k+1)x+k2+2k-54=0 ①.(1)求证:对于任意实数k,方程①总有两个不相等的实数根;(2)如果a是关于y的方程y2-(x1

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知关于x的方程x2-2(k+1)x+k2+2k-
5
4
=0 ①.
(1)求证:对于任意实数k,方程①总有两个不相等的实数根;
(2)如果a是关于y的方程y2-(x1-k-
1
2
)y
+(x1-k)(x2-k)+
1
4
=0 ②的根,其中x1、x2为方程①的两个实数根,且x1<x2,求代数式(
1
a
-
a
a+1
4
a+1
•(a2-1)
的值.
答案
(1)证明:∵△=[-2(k+1)]2-4×(k2+2k-
5
4
),
=4k2+8k+4-4k2-8k+5,
=9>0,
∴对于任意实数k,方程①总有两个不相等的实数根;

(2)∵x1<x2
∴x1=
2(k+1)-


9
2×1
=k-
1
2

∴x1-k-
1
2
=k-
1
2
-k-
1
2
=-1,
又∵x1+x2=-
b
a
=2(k+1),x1•x2=
c
a
=k2+2k-
5
4

∴(x1-k)(x2-k)+
1
4

=x1•x2-k(x1+x2)+k2+
1
4

=k2+2k-
5
4
-2k(k+1)+
1
4

=k2+2k-
5
4
-2k2-2k+k2+
1
4

=-1,
∴关于y的方程为y2+y-1=0,
∵a是方程的解,
∴a2+a-1=0,
∴1-a2=a,
(
1
a
-
a
a+1
4
a+1
•(a2-1)
=
a+1-a2
a(a+1)
×
a+1
4
×(a2-1)=
2a
a(a+1)
×
a+1
4
×(a2-1)=-
1
2
a,
根据求根公式可得a=
-1±


1+4
2
=
-1±


5
2

∴-
1
2
a=-
1
2
×
-1±


5
2
=


5
4

故代数式的值为
1+


5
4
1-


5
4
举一反三
先化简,再求值:
x-1
x
÷(x-
2x-1
x
)
,其中x=


3
+1
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一个容器装有1升水,按照如下要求把水倒出:第1次倒出
1
2
升水,第2次倒出的水量是
1
2
升的
1
3
,第3次倒出的水量是
1
3
升的
1
4
,第4次倒出的水量是
1
4
升的
1
5
,…按照这种倒水的方法,倒了10次后容器内剩余的水量是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
a1=1-
1
m
a2=1-
1
a1
a3=1-
1
a2
,…;则a2011的值为______.(用含m的代数式表示)
题型:填空题难度:一般| 查看答案
先化简,再求值:
1
2a
-
a2-1
a2-2a+1
÷
a2+a
a2-2a+1
,其中a=-
1
2
题型:解答题难度:一般| 查看答案
先化简,再求值:(
2x-3
x
-1)÷
x2-9
x
,其中x=2.
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