设a1，a2，…，an都是正数．试证：a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a1+a2+…+an．①

题型：解答题难度：一般来源：不详

设a₁，a₂，…，a_n都是正数．试证：

a 21

a2

+

a 22

a3

+…+

a 2n-1

an

+

a 2n

a1

≥a₁+a₂+…+a_n．①

答案

证明：欲证①成立，先考虑最简单的情形，设n=3，即证

a 21

a2

+

a 22

a1

+

a 23

a1

≥a₁+a₂+a₃…②
把②变形为
（

a 21

a2

-a1）²+（

a 22

a3

-a2）²+（

a 23

a1

-a3）²≥0…③
即证

a1

a2

(a1-a2)+

a2

a3

(a2-a3)+

a3

a1

(a3-a1)≥0…④
由于④中左边有（a₁-a₂），（a₂-a₃），（a₃-a₁），其和为零，因此，我们猜想：若④式左边相加，其和不小于（a₁-a₂），（a₂-a₃），（a₃-a₁）之和即可．为此，我们证更简单的事实．
设a，b是任意正整数，则有

a

b

(a-b)≥(a-b)…⑤
事实上，由（a-b）²≥0有
a²-ab≥ab-b²，
所以a（a-b）≥b（a-b）
所以

a

b

≥（a-b）
根据⑤，④显然成立，因为

a1

a2

(a1-a2)+

a2

a3

(a2-a3)+

a3

a1

(a3-a1)≥（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+（a₃-a₁）≥0，
从而③式成立，②式成立．
剩下来的工作是把②式推到一般情形①，这是很容易的．因为根据⑤，①式必然成立，因为

a1

a2

(a1-a2)+

a2

a3

(a2-a3)+…+

an-1

an

(an-1-a2)+

an

a1

(an-a1)≥（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-1-a_n）+（a_n-a₁）=0