已知a，b为正整数，且满足a+ba2+ab+b2=449，求a+b的值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知a，b为正整数，且满足

a+b

a2+ab+b2

=

4

49

，求a+b的值．

答案

由49（a+b）=4（a²+ab+b²）及a，b都是正整数，
故存在正整数k，使a+b=4k①
从而a²+ab+b²=49k，
即（a+b）²-ab=49k，故ab=16k²-49k②
从而a，b是关于x的方程
x²-4kx+（16k²-49k）=0③（此也可视作把①代入②，整理成关于a的类似③的方程）
得两个正整数根．
由△=16k²-4（16k²-49k）≥0，
得0≤k≤

49

12

，
∵k为正整数∴k=1，2，3，4．容易验证，
当k=1，2，3时，方程③均无正整数根；
当k=4时，方程③为x²-16x+60=0，
解得x₁=10，x₂=6．
故a+b=4k=16．