若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,则有x1+x2=-ba,x1-x2=ca,由上式可知,一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数

若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,则有x1+x2=-ba,x1-x2=ca,由上式可知,一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数

题型:解答题难度:一般来源:不详
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,则有x1+x2=-
b
a
x1-x2=
c
a
,由上式可知,一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的,我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系.若α,β是方程x2-x-1=0的两根,记S1=α+β,S222,…,Snnn
(1)S1=______S2=______S3=______S4=______直接写出结果)
(2)当n为不小于3的整数时,由(1)猜想Sn,Sn-1,Sn-2有何关系?
(3)利用(2)中猜想求(
1+


5
2
)7+(
1-


5
2
)7
的值.
答案
(1)根据根与系数的关系有:
α+β=1,αβ=-1.
∴S1=α+β=1.
S222=(α+β)2-2αβ=1+2=3.
S333=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)2-3αβ=1+3=4.
S444=(α222-2α2β2=9-2=7.
(2)由(1)得:Sn=Sn-1+Sn-2
证明:∵α,β是方程的根,∴有:α2=α+1,β2=β+1,
Sn-1+Sn-2n-1n-1n-2n-2
=
αn
α
+
αn
α2
+
βn
β
+
βn
β2

=
αn(1+α)
α2
+
βn(1+β)
β2

nn=Sn
故Sn=Sn-1+Sn-2
(3)由(2)有:
(
1+


5
2
)
7
+(
1-


5
2
)
7
=S7=S6+S5
=S5+S4+S4+S3
=S4+S3+2S4+S3
=3S4+2S3
=3×7+2×4=29.
举一反三
已知x=2是方程x2-3x+m=0的一个根,则m=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
关于x的一元二次方程mx2+m2=x2_2x+1的一个根为0,那么m的值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
解方程
(1)(3x-2)(x+4)=(3x-2)(5x-1);
(2)x2-8x+8=0;
(3)(x+1)(x+3)=15.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知关于x的方程ax2-x+c=0的一个根是0,则c=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
方程x2=9x的解是(  )
A.x=9B.x=3C.x=9或x=0D.x=0
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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