已知关于x的方程x2+2（k-3）x+k2=0有两个实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2-9|=x1x2，求k的值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知关于x的方程x²+2（k-3）x+k²=0有两个实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x₁+x₂-9|=x₁x₂，求k的值．

答案

（1）根据题意，得△≥0，
即[2（k-3）]²-4k²≥0，
解得，k≤

3

2

；

（2）根据韦达定理，得
x₁+x₂=-2（k-3），x₁x₂=k²，
∴由|x₁+x₂-9|=x₁x₂，得
|-2（k-3）-9|=k²，即|2k+3|=k²，
以下分两种情况讨论：
①当2k+3≥0，即k≥-

3

2

时，2k+3=k²，
即k²-2k-3=0，
解得，k₁=-1，k₂=3；
又由（1）知，k≤

3

2

，
∴-

3

2

≤k≤

3

2

，
∴k₂=3不合题意，舍去，
即k₁=-1；
②当2k+3＜0，即k＜-

3

2

时，-2k-3=k²，
即k²+2k+3=0，此方程无实数解．
综合①②可知，k=-1．