已知 关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且

题型：解答题难度：一般来源：山东省期末题

已知 关于x的一元二次方程x²﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．

答案

解：（1）关于x的一元二次方程x²﹣（2k+1）x+4k﹣3=0，
△=（2k+1）²﹣4（4k﹣3）=4k²﹣12k+13=4+4>0恒成立，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据勾股定理得：b²+c²=a²=31①，
∵两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，
∴b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，
∴联立①②③即可解得：b+c=7，
又a=，
∴△ABC的周长=a+b+c=+7．