已知关于x的方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0①求证:不论k为何值,此方程总有两个不相等的实数根;②若△ABC中,AB、AC的长是已知方程的两个实数根
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已知关于x的方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 ①求证:不论k为何值,此方程总有两个不相等的实数根; ②若△ABC中,AB、AC的长是已知方程的两个实数根,第三边BC的长为5.问:k为何值时,△ABC是直角三角形? |
答案
(1)证明:△=(2k+3)2-4(k2+3k+2) =1, ∵△>0, ∴不论k为何值,此方程总有两个不相等的实数根; (2)x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的解为x=, ∴x1=k+2,x2=k+1, 设AB=k+2,AC=k+1, 当AB2+AC2=BC2,即(k+2)2+(k+1)2=52,解得k1=-5,k2=2,由于AB=k+2>0,AC=k+1>0,所以k=2; 当AB2+BC2=AC2,即(k+2)2+52=(k+1)2,解得k=-14,由于AB=k+2>0,AC=k+1>0,所以k=-14舍去; 当AC2+BC2=AB2,即(k+1)2+52=(k+2)2,解得k=11,由于AB=k+2=13,AC=12,所以k=11, ∴k为2或11时,△ABC是直角三角形. |
举一反三
以3和-2为根的一元二次方程是( )A.x2+x-6=0 | B.x2+x+6=0 | C.x2-x-6=0 | D.x2-x+6=0 |
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关于x的一元二次方程kx2+(2k+1)x+k=0有两个不相等的实数根为x1,x2. (1)求实数k的取值范围; (2)是否存在实数k,使方程的两个实数根满足:+=0?若存在,请求出实数k的值;若不存在,说明理由. |
已知方程2x2-mx-10=0的一根是-5,求方程的另一根为______,m的值为______ |
一元二次方程x2-2x-4=0和x2-x+2=0所有实数根的乘积等于______ |
一元二次方程x2-5x+6=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2=______. |
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