已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x=4m﹣3有实数根。（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1x2﹣x12﹣x22的最大

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已知关于x的一元二次方程（x﹣m）²+6x=4m﹣3有实数根。
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x₁与x₂，求代数式x₁x₂﹣x₁²﹣x₂²的最大值。

答案

解：（1）由（x﹣m）²+6x=4m﹣3，
得x²+（6﹣2m）x+m²﹣4m+3=0，
∴△=b²﹣4ac=（6﹣2m）²﹣4×1×（m²﹣4m+3）=﹣8m+24，
∵方程有实数根，
∴﹣8m+24≥0，
解得 m≤3，
∴m的取值范围是m≤3；
（2）∵方程的两实根分别为x₁与x₂，由根与系数的关系，得
∴x₁+x₂=2m﹣6，，
∴
=3（m²﹣4m+3）﹣（2m﹣6）²
=﹣m²+12m﹣27
=﹣（m﹣6）²+9
∵m≤3，且当m＜6时，﹣（m﹣6）²+9的值随m的增大而增大，
∴当m=3时，的值最大，最大值为﹣（3﹣6）²+9=0，
∴的最大值是0。