如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°．证明：PA+PD+PC≥BD．

题型：不详难度：来源：

如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°．证明：PA+PD+PC≥BD．

答案

证明：在四边形ABCD外侧作等边三角形AB′D，
延长AP到点E，使PE=PD，连接DE，
∵PE=PD，∠DPE=60°，
∴△PDE为等边三角形，
∵DB′=AD，DP=ED，∠B′DP=∠ADE，
∴△ADE≌△B′PD（SAS），
∴B"P=AP+PD，
易知B"C≤PB"+PC，得B"C≤PA+PD+PC．
∵△AB"D是等边三角形，
∴AB"=AD，∠B"AD=60°，
又易知△ABC是等边三角形，
故AC=AB，∠BAC=60°，
∴△AB"C≌△ADB，∴B"C=DB，
∴PA+PD+PC≥BD，得证．